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lunes, 16 de octubre de 2017

Apuntes ELEMENTALES

UNIDAD I
LÓGICA Y CONJUNTOS

Proposición
Cualquier afirmación que sea verdadera o falsa pero no ambas a la vez. Para que una expresión lingüística sea proposición debe cumplir con los siguientes requisitos:

1. Debe ser una oración
2. Ser una oración aseverativa
3. Ser verdadera o falsa

No son proposiciones
1. Las oraciones interrogativas, imperativas, dubitativas, desiderativas, juicios de valor
2. Pseudopropociciones (falsa proposición)
3. Descripciones definidas
4. Los filosofemas (enunciados filosóficos)

Valor de verdad
Llamaremos valor verdadero o de verdadera de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso.

Proposición compuesta
Si las proposiciones simples P1, P2, P3, ... Pn se combinan para formar la proposición P diremos que P es una proposición compuesta de P1, P2, P3,...Pn.

Tabla de verdad
La tabla de verdad de una proposición compuesta enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones  P1, P2, P3,...Pn.

Conexiones entre proposiciones

Conjunción
Dada 2 proposiciones cualesquiera p y q llamaremos conjunción de ambas a la proposición compuesta p y q y la denotaremos por  "p ^ q". Esta proposición será verdadera únicamente en el caso de que ambas lo sean.

p    q    p^q
V       V         V
V       F         F
F       V         F
F       F         F

Disyunción
Dada dos proposiciones cualesquiera p y q llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta p o q y la denotaremos "p v q" esta proposición sera verdadera si al menos una de las proposiciones lo es.


p    q    pvq
V       V         V
V       F         V
F       V         V
F       F         F

Negación
Dada una proposición simple cualquiera llamaremos negación de p a la proposición "no p" y la denotaremos "¬p". Esta proposición será verdadera cuando p sea falsa o viceversa.


p    ¬q 
V       F
F       V

Condicional
Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta si p entonces q se le llama proposición condicional y se denota por p → q.

Hipótesis → consecuente
Premisa → tesis
condición suficiente → condición necesaria 

q siempre que p
q si p
p implica q
p solo si q
p es suficiente para q

p    q    p→q
V       V         V
V       F         F
F       V         V
F       F         V

Proposición condicional recíproca
Dada la condición condicional p → q su recíproca es la proposición también condicional q → p.

Proposición condicional contrarecíproca
Dada la proposicional p → q su contrarecíproca es la proposición, también condicional, ¬q → ¬p.

Bicondicional
Dadas dos propociciones p y q, a la proposición compuesta p si y sólo si q se le llama proposición bicondicional y se denota p ⟺ q


p    q    p→q    q → p    p→q ^ q → p (p⟺q)
V       V         V                V                           V    
V       F         F                V                            F  
F       V         V                F                            F
F       F         V                V                            V  

Tautología
Cuando todos los resultados de la tabla son verdaderos

Contingencia
Cuando en el resultado existen valores de verdad y valores falsos.

Contradicción
Cuando todos los resultados de la tabla son falsos


CUANTIFICADORES

Símbolos o expresiones utilizados para indicar cuantos o que tipos de elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta propiedad.

Cuantificador universal

∀ x, y      "para todos x, y..."

Cuantificador existencial
∃ x, y      "existe al menos un x, y..."

Cuantificador existencial único
∃! x, y     "existe un único x, y..."

Negación del cuantificador existencial
∄ x, y      "no existe ningún..."

Negación de cuantificadores
1. Para negar un ∃ cuantificador existencial

¬∃ x ∈ u, p(x)   =   ∀ x ∈ U, ¬p(x)

"no existe un elemento x que pertenezca a U"

2. Para negar un cuantificador universal ∀

¬∀ x∈ U, q(x)   =   ∃ x ∈ U,  ¬q(x)

CONJUNTOS

Colección de objetos totalmente determinados por sus elementos.

Relación de pertenencia
Si x es un elemento de S decimos que x pertenece a S y se escribe x ∈ S, si no es así x∉ S.

Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos

Descripción de conjuntos
1. Por extensión: dado una lista de todos los elementos del conjunto.
A={ 1,2,3...}

2. Por comprensión: dado una propiedad satisfecha por todos los elementos del conjunto.

A={x | p(x)}  donde p(x) es una función proposicional o formula

3. Verval: expresados por su descripción

4. Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o bién las relaciones entre conjuntos.



RAZONAMIENTO

Un razonamiento es una implicación en donde el antecedente es una conjunción de un número finito de proposiciones llamadas premisas del razonamiento, el consecuente es llamado la conclusión del razonamiento.

(P1^P2^P3... ^Pn) → r
un razonamiento es válido si el condicional anterior es tautología.

Falasias
Son razonamientos no válidos

Falasias deductivas
Falasia afirmación del consecuente
A → B
B
______
A


Falasia negación del antecedente
A → B
¬B
______
¬B

Reglas de inferencia
Silogismo disyuntivo
pvq    [(pvq) ^ ¬p] →q
¬p
___
q

Silogismo hipotético
p→q    [(p→q) ^ (q→r)] →(p→r)
q→r
____
p→r

Conjunción
p         (p^q) → (p^q)
q
__
p^q




OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión de conjuntos
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B, sin repetir ninguno y se denota A ∪ B.


A∪B = { x | x∈ A v x∈B}




Propiedades de la unión
1. La unión de cualquier conjunto A consigo mismo es igual al mismo conjunto

A∪A = A

2. La unión de cualquier conjunto A con el conjunto vacío es igual al mismo conjunto A

A∪∅ = A

3. La unión de cualquier conjunto A con el conjunto universal es igual al conjunto universal

A∪⋃=⋃


Intersección de conjunto
La intersección de los conjunto A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota A∩B.
A∩B = { x | x∈A ^ x∈B}



Propiedades de la intersección
1.La intersección de cualquier conjunto A consigo mismo es igual al mismo conjunto A

A∩A=A

2. La intersección de cualquier conjunto A con el conjunto vacío es el conjunto vació.

A∩∅=∅

3. La intersección de cualquier conjunto A con el conjunto universal es igual al mismo conjunto A
A∩⋃=A

Complemento de un conjunto
El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal ⋃, es el conjunto de todos los elementos de ⋃ que no están en A y se denota por A', Ā


A'={ x ∈ ⋃ | x ∉ A}

   ={ x ∈ ⋃ | ¬p(x)}

Propiedades del complemento
1. Para todo conjunto A, la unión del conjunto A con su complemento es igual al conjunto universal.

∀A, A∪A' = ⋃

2. Para todo conjunto A la intersección del conjunto A con su complemento es igual al conjunto vacío.

∀A, A∩A'=∅

Diferencia de conjuntos
La diferencia de conjuntos A y B en ese orden, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota A-B, A/B.


A-B = { x | x ∈ A ^ x ∈ B}


Subconjunto
Supongamos que A y B son conjuntos cuyos elementos están en un conjunto universal denotado como ⋃, diremos que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B, si todo el conjunto de A es también elemento de B, es decir si la proposición:

∀ x∈ ⋃ : x∈A → x ∈B es verdadera

A⊂ B    A⊆ B

Consecuencias sencillas
a. A ⊆ ⋃
b. A ⊆ A
c. si A⊆B y B⊆C entonces  A⊆C
d. ∅⊆A (todos los conjuntos)

Igualdad de conjuntos
Sean A y B subconjuntos de un conjunto ⋃ diremos que Ay B son iguales si es verdadera la siguiente proposición:

∀ x∈⋃ : x∈A ⟺ x∈B

x∈A → x∈B  ^ x∈B → x∈A

A⊆B  y  B⊆A

en caso contrario A≠B

∃ x∈ ⋃ : x∈A ^ x∈B

o ∃ y∈ ⋃ : y∈B ^ y∉A

Propiedades de la teoría de conjuntos

Para cualquier conjunto A,B y C tomamos de ⋃:

(A')'= A    Ley del doble complmento

(A∪B)' = A'∩B'   Leyes de morgan
(A∩B)' = A'∪B'

A∪B = B∪A   Leyes conmutativas
A∩B = B∩A

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C  Leyes asociativas
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

A∪(B∩C) = (A∪B) ^ (A∪C)  Leyes distributivas
A∩(B∪C) = (A∩B) ∪(A∩C)

A∪A = A  Propiedades idenpotentes
A∩A = A

A∪∅ = A  Propiedades del neutro
A∩A = A

A∪A' = ⋃ Propiedades del inverso
A∩A' = ∅

A∪⋃ = ⋃ Propiedades de dominación
A∩∅ = ∅

A∪(A∪B) = A Propiedades de absorción
A∩(A∩B) = A

A-B = A∩B'  Definición de resta

Si A⊆B→A∪B = B



MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

Demostración directa
Se basa en la implicación p→q se puede demostrar que si p es verdadera q también lo es.

p: es la hipótesis
q: es la conclusión


Determinación indirecta
Cuando la implicación p→q es equivalente a su contrarecíproca 

¬q→¬p

la implicación se puede demostrar viendo que su contrarecíproca es verdadera.

Método del contraejemplo
Se busca un ejemplo para refutar en el cual la implicación o doble implicación sea falsa.

Método por contradicción o reducción al absurdo
La demostración por contradicción consiste en suponer que la conclusión q es falsa y utilizando la hipótesis p y otros teoremas y equivalencias lógicas establecidas se llega a una contradicción.



UNIDAD II

Ematemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales;​ y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes​ (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, ¶, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.

Un conjunto (K, +, ∙, ≤)  es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:
  1. (K, +, ∙) es un campo.
  2. (K, ≤) es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:
    Si a≤b entonces a+c≤ b+c;
    Si a≤b y 0≤c entonces ac≤bc .
  3. El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:
    Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

Relaciones de igualdad
Sean a, b y c números reales:

a) Si a=b, entonces b=a

b) Si a=b y b=c, entonces a=c

c) Si a+c denota al número real resulta de sumar a y c 
    Si ac denota al número real que resulta de multiplicar a y c, entonces:
     a=b implicará que a+c = b+c y que ac=bc

Axiomas de campo
Para cualesquiera números reales a, b y c entonces:

Axioma C1: Ley de cerradura 
 a+b y ab son números reales
Axioma C2: Leyes conmutativas 
            a+b = b+a y  ab=ba
Axioma C3: Ley asociativa 
           a+(b+c)=(a+b)+c y
           a(bc) = (ab)c
Axioma C4: Ley distributiva 
            a(b+c)=ab+ac
Axioma C5: Ley de los inversos 
Si 
a ∈ ℝ, existe a1 en los reales tal que:
             a+a1=0

Si existe a en los reales con a≠0, entonces existe a2 en los reales tal que:
             a∙a2=1
a 
Axiomas de orden
Los axiomas de orden en  los números reales establecen una forma de comparar cada par de números reales para así poder ordenarlos. Si el par de números reales que se comparan  no son iguales, tendremos una relación de desigualad. 
Esta relación se le conoce como “menor que” y la denotaremos como <; para cualesquiera dos números reales y b diremos que a<b significa que a es menor que b.

Para cualesquiera números reales a, b y c entonces:

Axioma O1: Propiedad de la tricotomía
Se tiene que uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero

a<b o a>b o bien a=b

Axioma O2: Propiedad   transitiva 
Si a<b y b<c⟹ a<c
Axioma O3: Propiedad de monotonía para la multiplicación
Si a<b y c>0 ⟹ac<bc
Axioma O4: Propiedad de monotonía para la suma: 
Si a<b ⟹ a+c<b+c
c
CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE CAMPO

Teoremas:
Sean a, b y c ∈ , tal que:
  • Si a+c=b+c, entonces a=b
Demostración:
Sea c ∈ , tales que c+c1=0                               Ley de inversos (C6)
         a+c=b+c                                                       
(a+c)+c1=(b+c)+c1                                               
a+(c+c1)=b+(c+c1)                                                Ley asociativa    (C3) 
        a+0=b+0                                                       Ley de los Neutros (C5)
            a=b
  • Si ac=bc, entonces a=b
Demostración:
Sea c ∈ , con c≠0
existe c2 tal que c∙c2=1                                         Ley de inversos (C6)
          ac=bc                                                       
   (ac)c1=(bc)c1                                               
   a(c∙c1)=b(c∙c1)                                                    Ley asociativa    (C3) 
        a∙1=b∙1                                                          Ley de los Neutros (C5)
            a=b
  • Existe un único x en los reales tal que a+x=b
Demostración:
Sea a1 ∈ 
a+x=a+(a1+b)
      =(a+a1)+b                                                     Ley asociativa    (C3) 
      =0+b                                                             Ley de los Neutros (C5)
a+x=b

Unicidad
Sea x, y números reales tales que:
a+x=b y a+y=b
a+x=a+y                                                             Relaciones de Igualdad
    x=y                                                                 Ley de cancelación de la suma

Por lo tanto el número real es único
  • Existe un único x en los reales tal que ax=b
Demostración:
Sea a2 ∈ , tal que a∙a2=1 y x=a2∙b
ax=b
   =a(a2∙b)                                                        
   =(a∙a2)b                                                         Ley asociativa    (C3)
   =1∙b                                                               Ley de los Neutros (C5)
ax=b

Unicidad
Sea x, y ∈   tales que:
ax=b y ay=b
ax=ay                                                                 Relaciones de Igualdad
    x=y                                                                  

Por lo tanto el número real es único

Definición:

Si a ∈ ℝ, -a denotará al único número real que cumple:
a+(-a)=0        Inverso Aditivo
                                                                    
Si a ∈ ℝ, diferente de cero, a-1 denotará al único número real que cumple:
a∙a-1 = 1        Inverso Multiplicativo

Teoremas

Si a, b, c y d son números reales, entonces:
  •  -(-a) = a
  • Si a ≠ 0 entonces:  (a-1)-1 = a
  • -(a+b)= (-a)+(-b)  y  -(ab) = (-a)b = a(-b)
  • Si a y b son diferentes de cero, entonces ab ≠ 0 y   (ab)-1=a-1b-1
  • Si b y d son diferentes de cero, entonces   a/b+c/d =(ad+bc)/bd
Demostración:
a/b+c/d =(ad+bc)/bd
a/b+c/d = 

=ab-1+cd-1                                       Por definición

=(ab-1)∙1+(cd-1)∙1                     Ley de los neutros (C5)
=(ab-1)d∙d-1+(cd-1)b∙b-1              Ley de inversos (C6)

=(ad)(b-1d-1)+(cb)(b-1d-1)         Leyes comutativa y asociativa (C2 y C3)
=(ab+cb)(b-1d-1)                       Ley distributiva (C4)
=(ab+cb)/bd



















  • Si b y d ≠ 0, entoncea/b∙c/d = ac/bd

  • Demostración:

    a/b∙c/d = ac/bd
    a/b∙c/d =
    =(ab-1)(cd-1)
    =(ac)(b-1d-1)
    =(ac)(bd)-1

    =ac/bd
    • (a/b)-1 a-1/b-1 = b/a
    Demostración:
    (a/b)-1=b/a
    =a-1/b-1
    =a-1(b-1)-1
    =a-1b

    =b/a

    FACTORIZACIÓN

    Máximo común divisor (m.c.d.)
    m.c.d. de dos o más expresiones es el factor o divisor más grande que divide exactamente (sin residuo) a cada expresión.

    Factorización de un monomio a partir de un polinomio
    1. Determine el m.c.d. de todos los términos en el polinomio
    2. Exprese cada termino como un producto del m.c.d. y su otro factor
    3. Aplique la propiedad distributiva para factorizar el m.c.d.

    Factorización por agrupación
    1. Arregle los 4 términos es dos grupos de dos términos cada uno. Cada grupo de dos término debe tener un m.c.d.
    2. Factorice el m.c.d. de cada grupo de dos términos
    3. Si los dos términos formados en el paso 2, tiene un m.c.d., entonces factorice con m.c.d.

    FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS de la forma:  ax²+bx+c

    A. Factorizar x²+bx+c; a=1
    1. Encuentre dos números (factores) cuyo producto sea c y cuya suma sea b
    2. Los factores del trinomio son la forma (x       )(x     )

    B. Factorizar ax²+bx+c; a diferente de 1

     Método por agrupación
    1. Determine dos números cuyo producto sea ac
    2. Re-exprese el término bx empleando los números determinados en el paso 1
    3. Factorice por agrupación

    C. Factorizar ax²+bx+c; a diferente de 1

    Método del tanteo
    1. Anote todos los pares de factores del coeficiente del término cuadrático a
    2. Después anote todos los pares de factores de la constante c
    3. Pruebe varias combinaciones de estos factores hasta hallar el término medio correcto bx

    Formas especiales de factorización trinomial


    Diferencia de cuadrados

    (a²-b²) = (a+b)(a-b)


    Suma de dos cubos
    a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

    Diferencia de dos cubos
    a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

    Leyes de los exponentes

    Si m y n son números naturales y a es cualquier número real entonces se cumple lo siguiente:

    a^m * a^n = a^(m+n)

    a^m / a^n = a^(m-n)

    a⁻¹ = 1 /a^m

    CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE ORDEN

    ______________________|_____________________
                   x<0                       0                 x>0

    Teoremas:
    • Si a,b,c ∈  se cumple
    a>0 ↔ -a<0

    a>0 ↔ a⁻¹>0

    a<b ↔ -b < -a

    • Sa y b tienen el mismo signo entonces
    a<b ↔ b⁻¹<a⁻¹
    • Si a<b y c<d entonces
    a+c<b+d
    • Si 0<a<b y 0<c<d entonces
    ac<bc

    Desigualdades

    Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera

    (a,b)   a<x<b     __(_____)___    ____∘____∘____
                                  a        b                  a        b
    [a,b]   a≤x≤b     ___[_____]___    ____∙____∙____
                                  a        b                  a        b
    (a,b]   a<x≤b    ___(_____]___    ____∘____∙____
                                  a        b                  a        b
    [a,b)   a≤x<b    ___[_____)___    ____∙____∘____
                                  a        b                  a        b
    (-∞,a)  x<a       ⟵)___    
                                  a        b         
    (b,+∞) x>b        ___(⟶    
                                   b            

    Propiedades de las desigualdades

    si a<b y b>c → a<c
    si a<b ↔ a+c < b+c y a-c < b-c

    si a<b y c>0 → ac<bc y a/c > b/c


    VALOR ABSOLUTO

    En matemáticas, el valor absoluto o módulo1​ de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-).2
    El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnituddistancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaternionesanillos ordenadoscuerpos o espacios vectoriales.

    Definición
    El valor absoluto se define en cualquiera de los sistemas numéricos, de los números enteros, racionales, reales como:
    • |a| = a si a ≥ 0;
    • |a| = -a en otro caso; para un elemento a de los sistemas numéricos indicados.3

    Definiciones equivalentes
    Si  es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las dos siguientes maneras:
    1.  es igual al máximo de {a, -a}.4

    Valor absoluto de un número real
    La función se define sobre los números reales positivos. Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real  está definido por:5
    Donde:
    i. ∀ x∈ ℝ, |x| ∈ 
    ii∀ x∈ ℝ, |x|  ≥ 0

    Por definición, el valor absoluto de  siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
    Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real  es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.
    La función valor absoluto es una función continua definida por trozos.

    DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

    Propiedades fundamentales

    No negatividad
    Definición positiva
    Propiedad multiplicativa
    Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

    Propiedades adicionales

    Simetría
    Identidad de indiscernibles
    Desigualdad triangular
    (equivalente a la propiedad aditiva)
    Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)
    derivada (en el sentido de las distribuciones)

    |x|  c 
    -c ≤ x ≤ c               
    ≤ c "y" x  -c    (intersección)

    |x|  c

    ≥ c "o" x  -c   (conjunción)


    ≤ |x|
    -x ≤ |x|
    -|x| ≤ x ≤ |x|
    |x| = 0 ↔ x=0

    Sean  a, b ∈ ℝ, con a≠0 y b≠0, entonces

    |a+b|  |a| + |b| a y b tienen los mismos signos


    AXIOMA DEL SUPREMO


    Si A ⊂   es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces A tiene supremo en 

    Cota Superior
    Sea A ⊆ 

    1. Si x₀ ∈ ℝ, diremos que x₀ es una cota superior de A si:

    ∀ a ∈ A ; a ≤ x₀

    2. Diremos que A es acotada superiormente si existe una cota superior de A.

    Supremo
    Sea A ⊆ ℝ y x₀ ∈ ℝ, diremos que x₀ es un supremo de A si se cumplen:

    1. x₀ es una cota superior de A
    2. Si m es una cota superior de A entonces x₀ ≤ m

    Teorema
    Sea A ⊆ ℝ, y₀ y x₀, son supremos de A entonces x₀=y₀


    Máximo
    Sea A ⊆ ℝ si existe x₀ ∈ ℝ diremos que x₀ es una máximo de A si se cumple:

    1. x₀ es una cota superior de A
    2. x₀ ∈ A

    Cota inferior
    Sea A ⊆ 

    1. Si y₀ ∈ ℝ diremos que y₀ es una cota inferior de A si 

    ∀ a ∈ A ; y₀ ≤ a

    2. Diremos que A está acotado inferiormente si existe una cota inferior de A.


    Ínfimo
    Sea A ⊆ ℝ y y₀ ∈ ℝ diremos que y₀ es un infimo de A si se cumplen:

    1. y₀ es una cota inferior de A
    2. Si m es una cota inferior, entonces y₀  m 

    Mínimo
    Sean A ⊆ ℝ y a₀ ∈ ℝ diremos que a₀ es mínimo de A si se cumplen
    1. a₀ es una cota inferior de A
    2. a₀ ∈ A

    Definición
    Sea A ⊆ ℝ decimos que A esta acotado si y solo si A es acotado superiormente e inferiormente.


    INDUCCIÓN MATEMÁTICA

    Llamemos a la proposición, donde es el rango.
    • Base: Se demuestra que es cierta, esto es el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción).
    • Paso inductivo: Se demuestra que, si es cierta, esto es, como hipótesis inductiva, entonces lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural (relación de inducción. Indicado como ).
    Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que es cierto para todo natural .
    La inducción puede empezar por otro término que no sea , digamos por . Entonces será válido a partir del número , es decir, para todo natural .

    Ejemplo

    Se probará que la siguiente declaración P (n), que se supone válida para todos los números naturales n.
    P (n) da una fórmula para la suma de los números naturales menores o igual a n. La prueba de que P (n) es verdadera para todos los números naturales procede como sigue.

    Base: Se muestra que es válida para n = 1.

    con P(1) se tiene:


    En el lado izquierdo de la ecuación, el único término es 1, entonces su valor es 1.

    mientras que el término derecho, 1·(1 + 1)/2 = 1.

    Ambos lados son iguales, n = 1. Entonces P(1) es verdadera.

    Paso inductivo: Mostrar que si P(k) es verdadera, entonces P(k + 1) es verdadera. Como sigue:
    Se asume que P(k) es verdadera (para un valor no específico de k). Se debe entonces mostrar que P(k + 1) es verdadera:
    usando la hipótesis de inducción P(k) es verdadera, el término izquierdo se puede reescribir:
    Desarrollando:
    mostrando de hecho que P(k + 1) es verdadera.

    Puesto que se han realizado los dos pasos de la inducción matemática tanto la base como el paso inductivo, la declaración P ( n ) se cumple para todo número natural .


    TEOREMA DEL BINOMIO


    En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término.


    El coeficiente a en los términos de xbyc - xcyb es conocido como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor).

    Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como o ) se obtiene la siguiente representación:
    El coeficiente de en el desarrollo de es
    donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

    Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y.
    Así pues, por ejemplo, la expresión (2) queda de la siguiente forma:


    Cálculo del término que ocupa el lugar k

    k


    k




    NÚMEROS COMPLEJOS

    Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado.1​ El conjunto de los números complejos se designa con la notación , siendo el conjunto de los números reales se cumple que ( está estrictamente contenido en ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.


    Cuerpo de los números complejos


    El conjunto ℂ de los números complejos satisface las leyes de la axiomática que define un cuerpo:
    La identidad aditiva, el cero: z+ 0 = 0+z = z; la identidad multiplicativa, el 1:
    • Inversos: cada número complejo tiene su inverso aditivo -z tal que z +(-z) = 0 y cada número complejo, distinto de cero, tiene su inverso multiplicativo z-1, tal que z·z-1 = 1.8
    Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.


    Espacio vectorial


    El conjunto ℂ con la adición de números complejos y considerando como escalares los números reales, se puede definir ℂ como un espacio vectorial. Esto es:

    1. Si z,w son números complejos, entonces z+w es un número complejo. Esta operación interna define una estructura de grupo aditivo.
    2. Si r es número real y z es un número complejo, entonces rz, llamado múltiplo escalar de z, es también un número complejo. Las dos operaciones satisfacen la axiomática de un espacio vectorial o lineal.9

    Definición

    Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota ; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota . Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:
    • Suma
    • Producto por escalar
    • Multiplicación
    • Igualdad

    A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

    • Resta
    • División

    Al número se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo , se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo se denomina número imaginario puro. Puesto que se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.4


    Unidad imaginaria


    Se define un número complejo especial, sobre todo en el álgebra, de suma relevancia, el número i ( j en física), llamado unidad imaginaria, definido como
    Que satisface la siguiente igualdad:
    i³ = i² ⦁ i = -i
    i⁴ = i²⦁ i² = (-1)(-1) =1
    i⁵ = i⁴⦁ i =i
    i⁶ = i⁴⦁ i² =(1)(-1) = -1
    i⁷ = se repite


    Tomando en cuenta que , cabe la identificación


    Valor absoluto o módulo de un número complejo


    La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.


    El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
    Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.
    Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r e, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e es la conocida fórmula de Euler.
    Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto
    para cualquier complejo z y w.
    Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.


    Argumento o fase

    El argumento principal o fase de un número complejo genérico (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) es el ángulo que forman el eje de abscisas OX y el vector OM, con M(x,y). Viene dado por la siguiente expresión:
    donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:
    O también: Siendo:
    5
    la función signo.
    El argumento tiene periodicidad 2π, con lo que siendo cualquier número entero. El ángulo Arg z es el valor principal de arg z que verifica las condiciones -π < Arg z <= π descritas antes.6


    Conjugado de un número complejo


    Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central. De esta manera, el conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:
    Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria. Con este número se cumplen las propiedades:

    Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.


    Representación binómica




    Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand es la expresión binomial del punto.


    Un número complejo se representa en forma binomial como:
    La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:


    Representación polar




    El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand;  o  es la expresión polar del punto.

    En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.
    Despejandose a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial, resulta:
    Sacando factor común r:
    Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:
    la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

    Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.
    Según la Fórmula de Euler:
    No obstante, el ángulo no está unívocamente determinado por z, pues pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros , como implica la fórmula de Euler:
    Por esto, generalmente está restringido al intervalo [-π, π) y a éste restringido se le llama argumento principal de z y se denota φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas están unívocamente determinadas por z.


    Operaciones en forma polar


    La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

    División:



    Potenciación:



    Representación en forma de matrices de orden 2


    En el anillo de las matrices de segundo orden sobre el campo de números reales, se puede hallar un subconjunto que es isomorfo al cuerpo de los números complejos. Pues, se establece una correspondencia entre cada número complejo a+bi con la matriz

    De tal manera se obtiene una correspondencia biunívoca. La suma y el producto de dos de esta matrices tiene de nuevo esta forma, y la suma y producto de números complejos corresponde a la suma y producto de tales matrices. En particular la matriz cumple el rol de unidad imaginaria.7

    Plano de los números complejos o Diagrama de Argand


    El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos pudiendo ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.
    Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1)·(-1)=+1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º (i al cuadrado = -1), dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta.
    Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo.



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